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miércoles, 27 de octubre de 2010

Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos I

En el capítulo de dinámica hemos estudiado las colisiones unidimensionales elásticas e inelásticas tanto desde el punto de vista de un observador situado en el Sistema de Referencia del Laboratorio como del Sistema de Referencia del Centro de Masa. A continuación, procedimos con el estudio de las colisiones bidimensionales. En ambos casos, hemos aplicado el principio de conservación del momento lineal a un sistema aislado de dos partículas interactuantes y a continuación, hemos efectuado el balance energético de la colisión.
En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m1 y m2, y radios r1 y r2 respectivamente. El segundo disco está en reposo u2=0, mientras que el primero lleva una velocidad u1 antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo.
Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v1 haciendo un ángulo φ1 con eje horizontal (dirección de la velocidad u1 del disco incidente) y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular w1. El segundo disco, se mueve con velocidad v2 haciendo un ángulo φ2 con el eje horizontal y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular w2.
Tenemos que despejar seis incógnitas del sistema de ecuaciones que describe el choque entre dos discos:
  • Los módulos de las velocidades de los c.m. de los discos después del choque v1 y v2, y sus direcciones φ1 y φ2
  • Las velocidades angulares de rotación de cada uno de los discos alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por el c.m. w y w2.
Para obtener las seis ecuaciones, aplicamos:
  • El principio de conservación del momento lineal al sistema aislado formado por los dos discos, nos proporcionan dos ecuaciones.
  • El principio de conservación del momento angular  cada uno de los discos respecto del punto de contacto, nos proporcionan dos ecuaciones.
  • El balance energético de la colisión a través del coeficiente de restitución, nos proporciona la quinta ecuación
  • Cuando los discos están en contacto, puede deslizar una superficie sobre la otra o no deslizar. Tenemos una ecuación más, la sexta, distinta para cada caso.

Choques frontales

Los choques frontales son las más fáciles de describir ya que solamente, precisan la aplicación del principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución.
m1u1 =m1v1+m2v2                (1)
 -e·u1=v1-v2                                    (2)

Choques oblicuos

Parámetro de impacto
Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. La relación entre le parámetro de impacto b y el ángulo θ que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, se puede apreciar en la figura.
b=(r1+r2)·senθ
Conservación del momento lineal
  • a lo largo del eje X
m1u1 =m1v1x+m2v2x                (1)
  • a lo largo del eje Y
0=m1v1y+m2v2y                       (2)
Conservación del momento angular
Las fuerzas de interacción entre los discos se aplican en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero.
  • Se conserva el momento angular del disco 1 respecto del punto de contacto P.
  • Se conserva el momento angular del disco 2 respecto del punto de contacto P.
-m1·r1·u1senq= I1ω1- m1·r1·(v1xsenθ+ v1ycosθ)                   (3)
0=I2ω2 +m2·r2·(v2xsenθ+ v2ycosθ)                                    (4)
Balance energético. Coeficiente de restitución
La definición de coeficiente de restitución es

                 (5)
Cuando los discos están en contacto
  • No hay deslizamiento
Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales.

r1ω1+v1xsenθ+ v1ycosθ= -r2ω2 + v2xsenθ+ v2ycosθ                     (6)
  • Hay deslizamiento

Las fuerzas sobre el disco azul en el punto de contacto son:
  • La reacción N,
  • La fuerza de rozamiento F
 Si las superficie lateral del disco azul desliza sobre la del rojo, la relación entre ambas fuerzas es F=μ·N
La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza. Lo mismo cabe decir de la fuerza F.

μ(v1ysenθ-v1xcosθ+u1cosθ)=- v1xsenθ-v1ycosθ+u1senθ              (6)
Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:
  • La reacción N,
  • La fuerza de rozamiento F
iguales y de sentido contrario a las que se ejercen sobre el disco azul.


μ(v2xcosθ-v2ysenθ)=v2xsenθ+v2ycosθ                                    (7)

Resolución del sistema de ecuaciones

Llamamos M=m1/m2
El momento de inercia de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo es
I=kmr2 con k=1/2 para un disco
El sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas se escribe.
Mv1x+v2x= Mu1+u2         (1)
Mv1y+v2y=0                      (2)
v1xsenθ+ v1ycosθ-kr1ω1= u1senq            (3)
v2xsenθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                     (4)
-v1xcosθ + v1ysenθ+v2xcosθ-v2ysenθ=eu1cosθ           (5)
v1xsenθ+ v1ycosθ - v2xsenθ-v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0      (6)   No desliza
(- μcosθ+senθ)v1x+(μsenθ +cosθ) v1y=u1(senθ- μcosθ)   (6) Desliza
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, cambiamos el orden de las ecuaciones para evitar que los elementos de la diagonal de la matriz cuadrada (más abajo) sean nulos
  • No desliza
v1xsenθ+ v1ycosθ - v2xsenθ- v2ycosθ +r1ω1+r2ω2 =0      (6)  
Mv1y+v2y=0                                                                       (2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2                                                           (1)
-v1xcosθ + v1ysenθ+v2xcosθ-v2ysenθ=eu1cosθ                  (5)
v1xsenθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1senq                                      (3)
v2xsenθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                                              (4)
En forma matricial escribimos el sistema

Se resuelve el sistema de ecuaciones se evalúa el primer y segundo miembro de la ecuación (6) caso "desliza"
A=μ(v1ysenθ-v1xcosθ+u1cosθ)
B=- v1xsenθ-v1ycosθ+u1senθ
Si A>B se mantiene el resultado, en caso contrario se resuelve el sistema alternativo
  • Desliza
(- μcosθ+senθ)v1x+(μsenθ +cosθ) v1y=u1(senθ- μcosθ)    (6)
Mv1y+v2y=0                                                                       (2)
Mv1x+v2x= Mu1+u2                                                           (1)
-v1xcosθ + v1ysenθ+v2xcosθ-v2ysenθ=eu1cosθ                  (5)
v1xsenθ+ v1ycosθ-kr1ω1= -u1senq                                      (3)
v2xsenθ+ v2ycosθ +kr2ω2 =0                                              (4)
En forma matricial escribimos el sistema
Comprobamos que la solución es correcta en este caso, verificándose la ecuación
μ(v2xcosθ-v2ysenθ)=v2xsenθ+v2ycosθ                                    (7)

Procedimiento de cálculo

Llamamos M a la matriz, X al vector columna de las incógnitas y B al vector columna de los términos independientes
M·X=B
Despejamos el vector columna de las incógnitas
X=M-1·B
Para hallar los elementos del vector columna X de las incógnitas, calculamos la matriz inversa M-1 y a continuación, la multiplicamos por el vector columna B de los términos independientes.

Ejemplo:

Comprobaremos,  la conservación del momento lineal y del momento angular de los discos, a partir de los datos suministrados por el programa interactivo.
Datos relativos a los discos
  • Las masas de los discos, m1=1, m2=1, por lo que M=m1/m2=1
  • Los radios de los discos  r1=1,  r2=1
  • Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10
Antes del choque
  • Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
  • Parámetro de impacto b=1.5, por lo que senθ=1.5/(1+1), θ=48.60º
Después del choque
  • Velocidad del primer disco v1=2.40, dirección φ1=39.75º (por encima de la horizontal)
  • Velocidad del segundo disco v2=2.26, dirección φ2=-42.88º (por debajo de la horizontal)
  • Velocidad angular del primer disco r1·ω1=-0.45, o bien w1=-0.45 (gira en el sentido de las agujas del reloj)
  • Velocidad angular del segundo disco r2·ω2=-0.45, o bien w2=-0.45
1.- Conservación del momento lineal
El momento lineal inicial del primer disco (el segundo está inicialmente en reposo) es igual a la suma vectorial de los momentos lineales de los discos después del choque.m1u1=m1v1cosφ1+m2v2cosφ2
0
=m1v1senφ1+m2v2senφ2
  • Antes del choque
Eje X: 1·3.5=3.5
Eje Y: 0.0
  • Después del choque
Eje X: 1·2.40·cos39.75+1·2.26·cos(-42.88)=3.49
Eje Y: 1·2.40·sen39.75+2·2.26·sen(-42.88)=0.003 » 0.0
El momento lineal se conserva
2.-Conservación del momento angular
Se conserva el momento angular del disco 1 respecto del punto de contacto P.

-m1·r1·u1senq= I1ω1- m1·r1·v1sen(θ+φ1)
-1·1·3.5·sen48.60=1·12·(-0.45)/2-1·1·2.40·sen(48.60+39.75)

(Las velocidades angulares son positivas en el sentido contrario al de las agujas del reloj)
Se conserva el momento angular del disco 2 respecto del punto de contacto P.

0=I2ω2 +m2·r2·v2sen(θ+φ1)
0=1·12·(-0.45)/2-1·1·2.26·sen(48.60+-42.88)
  1. Balance energético
Energía inicial
Ei=6.125
Energía final
Ef=5.535
 Energía perdida en la colisión Q=Ef-Ei=-0.590
Ejemplo 2º Choques frontales
Datos relativos a los discos
  • Masas de los discos m2=1, m1=0.5, por lo que M=m1/m2=0.5
  • Discos ambos de acero, e=0.94
Antes del choque
  • Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
  • Parámetro de impacto b=0.0, por lo que θ=0º
Después del choque
  • Velocidad del primer disco v1=-1.03
  • Velocidad del segundo disco v2=2.26,
  1. Conservación del momento lineal
  • Antes del choque
Eje X: 1.3.5=3.5
  • Después del choque
Eje X: -1·1.03+2·2.26=3.49
Se conserva el momento lineal
  1. Balance energético
Antes del choque
Después del choque
 Energía perdida en la colisión Q=Ef-Ei=-0.243

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